約一週間後に誕生日で、免許更新(ちなみに初回更新です)をしなければならないので

約一週間後に誕生日で、
免許更新(ちなみに初回更新です)をしなければならないのですが、まだ通知のハガキが届きません。
ハガキが無くても更新はできますか？
それとも、ハガキ自体こないものなのでしょうか。

まず、ハガキが届かないとのことですが、有効期限は間違いなく今年ですか？
また、引っ越しなどをされて現在実際に住まわれている住所と、免許の住所に相違が生じていませんか？
「更新のお知らせ」ハガキは免許に登録している住所に届きますから、役所で住民票を移しても、免許の住所は自動的には変わりません。
一度、このあたりを再確認される方がいいでしょう。
また、「更新のお知らせ」は文字通り「お知らせ」であって免許更新を忘れないように連絡するのが主目的です。
更新時に必須のものではありません。
なお、それでも不明な点があれば、お近くの警察署、免許センターに直接問い合わせることをお勧めします。

＞ハガキが無くても更新はできますか？
出来ますから、安心して更新手続きに行って下さい。