免許更新の日に名字を変更するのですが更新のタイミングで名字の変更はして

免許更新の日に名字を変更するのですが更新のタイミングで名字の変更はしてもらえますか？それとも先に変更手続きを済ましてから免許更新を受けた方が良いのでしょうか？

更新手続きの際に本籍記載の住民票の写し（マイナンバー不記載）を持っていけば、更新と同時に記載事項変更手続きができ、新しい姓が表面に印刷された運転免許証が交付されます。
なお、本籍に変更がないのであれば、新しい姓が追記されたマイナンバーカードでも大丈夫な場合がほとんどだと思います。
ただ、一部の県の記載事項変更手続きの案内にはマイナンバーカードの記載がありませんので、可能かどうかを念のために調べる必要があります。

姓や住所変更などと同時に免許更新が可能なのに、手間をかけて無駄な事はする必要は無いです。
免許センターのホームページに載ってます。