自動車免許 - 初めて免許を取得し、3年後の免許更新について気になったこ

自動車免許
初めて免許を取得し、3年後の免許更新について気になったことがあるのですが、仮に8月が誕生日でH21年の9月に取得した場合、3年後のH24年の誕生日前後1カ月だと思いますが、H22年の1月～7月に取得した場合でもH24年の誕生日前後になるのですか？

そのとおりです。
免許は3回目の誕生日＋1ヶ月が有効期限になりますので、取得する日によって最長3年と1ヶ月-1日、最短2年と1ヶ月＋1日となります。
3年目じゃなく3回目ってところが重要です。