去年の6月に普通自動二輪の免許を習得したのですが、今月、普通自動車

去年の6月に普通自動二輪の免許を習得したのですが、今月、普通自動車免許を習得する予定ですが、普通自動車免許を習得すると免許の更新日は伸びるのでしょうか？

延びます。
去年の6月に普通自動二輪を取得したとのことですが、それが、あなたが初めて取得した免許だとすれば、新しい免許（今回は普通自動車免許）を取得した日から、3回目の誕生日の1ヶ月後まで有効期間が延びます。
もし、それ以前に原付免許などを持っていて、継続して免許を受けている期間が5年以上あり、かつ過去５年間の違反行為が違反点数３点以下の違反１回だけ、もしくは無違反であれば、5回目の誕生日の1ヶ月後まで有効期間が延びます。
ですから、免許の取得日が誕生日の前になるか後になるかで、有効期間が1年間違ってきます。（ちょうど誕生日ならその日から3年または5年と1ヶ月です。）
ですから、何年かごとに新しい免許を取れば、更新をせずに有効期間を長くすることが可能です。
実際私は最初に免許を取って16年になりますが、更新はまだ1回しか行っていません。