免許証の住所変更について、横浜市から川崎市に引っ越しましたが、

免許証の住所変更について、横浜市から川崎市に引っ越しましたが、手続きは川崎市の警察署じゃないといけないのでしょうか？来月更新ですが、今の新住所の前の前の住所のままで変更手続きしていません。更新時に
同時に住所変更もできますか？

住所変更は、免許センターあるいは、新住所を管轄する警察署での手続きとなります。
更新と同時に住所変更可能です。

http://www.police.pref.kanagawa.jp/mes/mes83000.htm#kokunai
http://www.police.pref.kanagawa.jp/mes/mes83004.htm
http://www.police.pref.kanagawa.jp/mes/mes83002.htm
よく読んでください。
運転免許手続き－警察の関係を知っているなら、なぜ、県警ホームページ確認しないのでしょうか？
インターネット環境を有効に使いましょう。勿体ないよ。

住所地を管轄する警察署になりますが、更新時でも可能なので来月更新なら更新時でも良いと思います。

運転免許証の記載事項変更（住所変更）は、運転免許試験場か住所地を管轄する警察署での手続きです。
更新のときに同時に住所変更もできます。