今年、初免許更新なのですが、誕生日が９月の頭なのでもうすぎてしまいました。

今年、初免許更新なのですが、誕生日が９月の頭なのでもうすぎてしまいました。更新は間に合いますか？
また、住んでいる場所と住民票をおいている場所が違うのですが、その場合 住んでいる場所の近くの免許センターに行けばいいのでしょうか？

更新期間は誕生日の前後１ヶ月となります。
誕生日が９月の頭なら、まだ十分に間に合うはずです。

誕生日が８月の頭で、有効期限が９月の頭と言うのであれば、
残念ながら失効しているので、更新は無理です。
しかし、失効してから６ヶ月以内であれば、本免の試験免除で新規発行してもらえます。
新規発行ですから、再び緑色ですけどね。
手数料も高いし、手続きは平日のみとなるので、その点は注意して下さい。
＞んでいる場所と住民票をおいている場所が違うのですが、
＞その場合 住んでいる場所の近くの免許センターに行けばいいのでしょうか？
はい。免許証の住所の管轄となります。
しかし、住民票の写しを持っていって、住所変更と更新を同時にする事も可能だったはずです。

誕生日の前後一ヶ月が更新日で、それを過ぎると失効してしまいますのでお早めに行った方が良いかと・・・
基本、住民票のある住所での更新（免許記載の住所）になりますが、免許の住所を変えるということで近くの免許センターでも更新はできるようになります。
その際に、住所登録の変更が必要ですので最寄の免許センターで必要なものをそろえてから行ってくださいね＾＾