免許の更新を忘れていたのですが、6ヶ月以内なら適性検査と講習で再取得できる

免許の更新を忘れていたのですが、6ヶ月以内なら適性検査と講習で再取得できると 書いてあります。
免許の失効が2月28の場合、8月28まで。という認識で良いのでしょうか？

まあ難しい日数計算は置いといて、
6ヶ月以内だから8月28日中の受け付けまでです。

それで間違いないよ。
質問者さんが初めて免許を取得したのがいつか分からないけど、普通免許に中型8t限定が後に付与される2007年6月以前に取得した免許の(6ヶ月)うっかり失効での更新では現在の普通免許の新規取得扱いになり中型8t限定の条件は消滅するから要注意。

手持ちの運転免許証の有効期限が2024年2月28日だった場合、その日は水曜日なので、翌2024年2月29日(木)が失効日です。その日から6カ月なので、2024年8月28日まで、と言うことになります。8月29日までではありませんので注意が必要です。
なお、有効期限が土日祝日に当たる場合、翌平日まで更新手続きができます。例えば、有効期限の日が2024年2月23日だった場合、その日は金曜日ですが天皇誕生日の祝日なので、翌平日である2024年2月26日(月)まで更新が出来、失効は2月27日(火)です。よって、そこから6カ月は2024年8月26日までとなります。

確認です。
有効期限は何時だったのですか？
失効6ヶ月以内と言うのは
有効期限の翌日から6ヶ月間です
免許の失効日が2月28日なら2月28日を起算日として計算。
免許証の有効期限が2月28日なら2月29日を起算日として計算。
以上を踏まえて6ヶ月と言うのは具体的に日数にすれば
何日間になるのかは警察署か運転免許センターに問い合わせた方が
確実です。

それで良いですが、あなたは現在無免許状態です。
コレで運転した場合は、無免許運転として25点で10万円以下の罰金、2年間は免許を取る資格がない欠格期間となります。
今の時点であなたは気がついていますので、この状態で運転すれば無免許運転です。
運転していなければ問題はないですけどね。
再取得できても、引き継がれるのは免許の種類と免許証番号だけですから、青免許の3年期限になります。

はい、その認識で合っています。