引越し後免許の更新について県外から都内に引っ越して数ヶ月ほど経つ

引越し後免許の更新について
県外から都内に引っ越して数ヶ月ほど経つのですが、先日免許更新（初回）のハガキが届きました。
免許は地元で取ったので実家の住所になっています。
更新のハガキは引っ越し先の住所に届いたのですが、ハガキの更新場所には地元の警察署が書いてあります。
質問ですが、今住んでいる県（東京）の免許センターで更新を行い、その場で新しい住所に書き換えてもらうことは可能でしょうか？

可能です。
新しい住所の住民票の写し(コピーは不可)を用意
して更新窓口に更新申請書と一緒に住民票の写しを提出すれば
更新後の免許証住所は東京の住所になっています。
東京都の場合更新は予約制となっています。
但し他県の更新ハガキでは予約は出来ません
その為の対応は↓の良くある質問を参照
https://www.keishicho.metro.tokyo.lg.jp/menkyo/koshin/web.html

きちんと住民票の転入が出来て居る事を前提に
新たな住所地の住民票（本籍地も変更していたら、本籍地記載の物）
を用意して通常の更新で免許証の住所地も変更できます。

住所変更と更新は同時にできます。
住所変更に必要な書類ももって更新に行きましょう。