ペイパードライバーの人が会社の車しか乗ってなくても運転できるよう

ペイパードライバーの人が会社の車しか乗ってなくても運転できるようになりますか？
補足ペイパードライバーの状態で会社の車しか…に文章を変更します。

会社の車に乗ってるのですから、運転できるようになってますよ。
安心してください。

どういう状態か、今ひとつわかりませんが、自家用車を持たず、日常的には運転せず、仕事の移動で会社の車を使うことがある、という事例はあると思います。多くの会社では、会社の車を運転させて問題ないか、実際の運転操作を見て、その上で、会社の車を運転させるか、判断されると思います。
ということで、会社の車で、運転練習をして、運転することは、事例としてはあり得ます。私の、前々職では、実際に、公用車を使えるかどうか、直属の上司が判断したうえで、使わせる、ということをしていました。

ペーパードライバーとは免許を取得してから全く車の運転を
していない人の事を指すのです。
なので質問のケースは会社の車を運転しているのですから
ペーパードライバーとは言えず当然会社以外の車も運転出来ます。

マイカーであれ社用車であれ、実際に車を運転している人を「ペーパー」だというのは間違っていると思いますよ。そして、事故なく運転を終えているなら「運転はできている」です。ただ上手でないだけですよ。
「ペーパードライバー」は自称に過ぎず、明確な用語定義がある訳ではありませんが、私の場合は「免許の取得または前回の更新から一度も運転をすることなく次の更新を迎えた」人が「ペーパードライバー」だと考えています。よって、例え月イチ程度の頻度であっても、マイカーだろうが社用車だろうがレンタカーだろうが、実際に自動車の運転をしていれば、ペーパーではありませんね。

知り合いのバス運転手で、自分は何らの車両を持っていなくて、会社のバスだけを運転している人がいます。
車庫まで歩いて通勤です。
ですので、個人差はあるでしょうが、そういう人は存在する、ということです。

・ペイパードライバーの人が会社の車しか乗ってなくても運転できるようになりますか？
→会社の車を運転してる時点でペーパードライバーとは言いません。