引っ越しに伴い住民票の住所を変えましたが、免許証の住所変更をま

引っ越しに伴い住民票の住所を変えましたが、免許証の住所変更をまだ行なっておりません。
落ち着いたら行おうと思っておりますが、この関係で教えてください。
免許更新のハガキは住民票ではなく免許証に記載されている住所に届くかと思いますが、免許更新は免許証に記載されている住所の県の免許センターで行うことになるのでしょうか。
または、住民票に記載されている県の免許センターになるのでしょうか。

免許証の更新は常に正しい状態にしなければなりません、という建前で、本来更新は免許証の住所地で行います。
しかし、更新のタイミングと引っ越しが重なった場合など、そうできないこともあります。
更新と住所変更は同時にできます。
新しい住所を管轄する更新可能な警察署や免許センターに行き、住所変更(記載事項の変更)と更新を行って下さい。
この場合、新しい住所を証明するものが必要になります。(住民票の写しやマイナンバーカード)
注意点として、最近は更新に予約が必要な都道府県が増えています。
予約には葉書に記載された更新番号が必要となったりします。つまり葉書がないと予約ができない都道府県があります。
葉書がない場合の更新の仕方は都道府県により異なりますので各都道府県警察本部のサイトなどで確認してください。
「都道府県名 運転免許 更新」で検索すれば出てきます。

住民登録してる免許センターまたは
警察署です 郵便局で旧住所から新
住所への郵便物の転送手続きをすれば
その郵便物で住所変更出来る地域も
有りますから警察署に電話する等して
確認してください

まあ。どちらでも良いですが、
普通は現住所都道府県で、
更新と住所変更を同時に行います。
その方がラクですから。

免許更新は、免許証に記載されている住所を管轄する免許センターでおこなうことになります。住民票の住所ではありません。免許の管理は、行政機関ではないので、住民票とは連動していません。なので、住民票の異動処理しか行っていないと、免許証の更新案内は、免許証に記載されている旧住所に送付されてしまいます。
免許の更新手続き前に、免許証の住所変更を行っていれば、新住所を管轄する運転免許センターで更新手続きができます。警察署に住民票などの現住所を示す書類を持参すれば、30分もかからずに、住所変更が行えます。注意すべきは、交番や派出所ではダメで、警察署でないとできない、ということですね。どんな書類で、現住所の確認になるかは、各県の運転免許センターの Web サイトで確認してください。

運転免許は都道府県の管轄なので、更新手続きは免許証に記載されている住所の都道府県「でしか出来ません」。質問者さんが例えばA県からB県に転居して住民票を移し終えていたとしても、運転免許の住所変更の手続きを怠っていれば、運転免許を管理する警察は質問者さんがA県に居るとしか把握しておらず、A県でしか更新手続きをしてくれません。
住民票(住民登録)は市町村と特別区の管轄で、警察は都道府県の組織ですから、役場で住民登録を移したからと言って、警察が自動的に追随してくれたりはしないんです。よって通常は、役場で転入手続きをしたら、その足で最寄りの警察署に行って運転免許証の住所変更も済ませるものです。
質問者さんが転居先のB県で更新手続きをしたいなら、事前に、あるいは更新と同時に、運転免許証の住所変更の手続きをしなくてはなりません。その際は新住所の証明書類として、住民票の写しが使用できます。